Giả sử f : R → R được định nghĩa trên tập số thực và a, L ∈ R. Ta nói giới hạn của f, khi x tiến tới a, là L và viết

lim x → a f ( x ) = L , {\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L,}

nếu tính chất sau là đúng: Với mọi số thực ε > 0, tồn tại một số thực δ > 0 sao cho với mọi x thỏa 0 < |x − a| < δ thì |f(x) − L| < ε.

Có thể thấy giới hạn của hàm số không phụ thuộc việc f có nghĩa tại a, và cũng không phụ thuộc vào giá trị của f tại a, tức f(a).

Các ẩn ε và δ có thể hiểu là "sai số" và "khoảng cách", và thực tế là Cauchy đã dùng ε để viết tắt cho "sai số" trong một số tác phẩm của ông (Grabiner 1983), mặc dù trong định nghĩa của tính liên tục ông dùng α vô cùng nhỏ thay vì ε hay δ (xem Cours d'Analyse).

Giới hạn một bên

Giới hạn khi x → x0+ khác với giới hạn khi x → x0−. Do đó, giới hạn khi x → x0 không tồn tại.

Thay vì tiếp cận theo cả hai phía, x có thể tiến tới a từ bên phải hoặc bên trái, khi đó giới hạn được gọi là giới hạn bên phải (bên trái) của f tại a, kí hiệu là

lim x → a + f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}f(x)=L}

cho giới hạn bên phải, và

lim x → a − f ( x ) = L {\displaystyle \lim _{x\to a^{-}}f(x)=L}

cho giới hạn bên trái. Nếu cả hai giới hạn này tồn tại và bằng nhau, khi ấy giới hạn của f tại a cũng tồn tại và bằng giá trị của hai giới hạn một bên. Nếu các giới hạn này tồn tại nhưng không bằng nhau thì giới hạn của f tại a không tồn tại. Nếu một trong hai giới hạn một bên này không tồn tại thì giới hạn tại a cũng không tồn tại.

Một định nghĩa hoàn chỉnh như sau:

• Giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên phải (hay từ bên trên) là L nếu, với mọi ε > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu 0 < x − a < δ thì |f(x) − L| < ε.
• Giới hạn của f(x) khi x tiến tới a từ bên trái (hay từ bên dưới) là L nếu, với mọi ε > 0, tồn tại một số δ > 0 sao cho nếu 0 < a − x < δ thì |f(x) − L| < ε.

Để ý rằng nếu cả hai điều kiện 0 < x − a < δ và 0 < a − x < δ đều thỏa thì sẽ tương đương với 0 < |x − a| < δ

Ví dụ

Giới hạn một bên không tồn tại

Một hàm số không có giới hạn bên phải tại x0, do đó x0 là một đứt gãy cơ bản

Hàm số

f ( x ) = { sin ⁡ 5 x − 1  cho  x < 1 0  cho  x = 1 1 10 ( x − 1 )  cho  x > 1 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}\sin {\dfrac {5}{x-1}}&{\text{ cho }}x<1\\0&{\text{ cho }}x=1\\{\dfrac {1}{10(x-1)}}&{\text{ cho }}x>1\end{cases}}}

không có giới hạn tại x0 = 1: giới hạn bên trái không tồn tại cho tính dao động cua hàm sin, giới hạn bên phải không tồn tại do hàm nghịch đảo tiệm cận về vô cùng. Tuy nhiên, hàm số này có giới hạn tại mọi điểm khác ngoài 1 trên trục số thực.

Hàm Dirichlet, định nghĩa là f(x) = 1 nếu x là số hữu tỉ và f(x) = 0 nếu x là số vô tỉ, không có giới hạn tại bất kì điểm nào trong tập số thực.

Giới hạn một bên không bằng nhau

Hàm số

f ( x ) = { 1  cho  x < 0 2  cho  x ≥ 0 {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1&{\text{ cho }}x<0\\2&{\text{ cho }}x\geq 0\end{cases}}}

có giới hạn tại mọi điểm x khác 0 (giới hạn đó bằng 1 với x âm và bằng 2 với x dương). Giới hạn tại x = 0 không tồn tại, do giới hạn bên trái (bằng 1) và giới hạn bên phải (bằng 2) là khác nhau.

Giới hạn tại một điểm

Hàm số f: R → R, được định nghĩa là f(x) = x nếu x là số hữu tỉ và f(x) = 0 nếu x là số vô tỉ, có giới hạn tại x = 0 và giới hạn đó bằng 0.

Giới hạn tại vô số điểm đếm được

Hàm số f, được định nghĩa f(x) = sin x với x vô tỉ và f(x) = 1 với x hữu tỉ, có giới hạn tại mọi điểm có dạng π/2 + 2nπ, trong đó n là một số nguyên bất kỳ.